[C++] 백준 17626 Four Squares

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

예제 입력 1 

25

예제 출력 1 

1

예제 입력 2 

26

예제 출력 2 

2

예제 입력 3 

11339

예제 출력 3 

3

예제 입력 4 

34567

예제 출력 4 

4

 

점화식

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여기서 문제에서 말한걸 떠올려 봤을 때 가장 간단하게 N을 표현한다면 아래와 같다.

N = i^2 + 나머지
1 <= i <= sqrt(N)

N - i^2 = 나머지

식을 통해 구할 수 있다.

 

이때 나머지 = n - i^2

n - i^2를 제곱수의 합으로 표현하는 최소 개수가 이미 dp[n - i^2]에 저장되어 있다고 가정한다면

점화식은 아래와 같이 짤 수 있다.

dp[N] = min(dp[n - i^2] + 1)

0 =
1 = 1^2
2 = 1^2 1^2
3 = 1^2 1^2 1^2

4 = 2^2
5 = 2^2 1^2
6 = 2^2 1^2 1^2
7 = 2^2 1^2 1^2 1^2
8 = 2^2 2^2

9 = 3^2
10 = 3^2 1^2
11 = 3^2 1^2 1^2
12 = 2^2 2^2 2^2
13 = 3^2 2^2
14 = 3^2 2^2 1^2
15 = 3^2 2^2 1^2 1^2

16 = 4^2

4의 제곱인 16까지 최소개수의 제곱수로 표현을 해보았다.

위의 점화식을 그대로 적용 시켜 보았을 때 문제 없으니 검증된 셈

이제 이걸 코드로 옮겨보자

 

코드

---

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
	vector<int> arr;
	int N;
	cin >> N;
	arr.assign(N + 1, 1e9);
	arr[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = 1; j <= (int)::sqrt(i); j++)
			arr[i] = min(arr[i], arr[i - j * j] + 1);

	cout << arr[N] << endl;
	return 0;
}

배열의 모든 인덱스(0번째 제외) 10억으로 채운뒤

위 점화식을 그대로 적용 시켰다.